钢条切割

Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。假定我们知道Serling公司出售一段长为i英寸的钢条的价格为pi(i=1,2,…，单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。

 长度i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10 | 
价格pi | 1 | 5 | 8 | 9 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 30 |

钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1,2,…n)，求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。
注意，如果长度为n英寸的钢条的价格pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

分析

求出每一种选定长度和待分割状态下的情况 并求出最佳 从小规模扩展到大规模
p[i-1]+r(x-i)
不要忘记初始化 rec数组

递归法

package BlueCup.Eight_DP_greed;

import java.util.Arrays;

import static java.lang.Math.max;

public class 钢条切割问题 {
    static int n=10;
    static int[] p = {1, 5, 8, 16, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
    public static void main(String[] args) {
        int ans = r(n);
        System.out.println(ans);

    }
    private static int r(int x) {
        if (x == 0) {
            return 0;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= x; i++) {
            int v=p[i-1]+r(x-i);
            ans=max(v,ans);
        }
        return ans;
    }
}

记忆型递归

package BlueCup.Eight_DP_greed;

import java.util.Arrays;

import static java.lang.Math.max;

public class 钢条切割问题 {
    static int n=10;
    static int[] p = {1, 5, 8, 16, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
    public static void main(String[] args) {
        Arrays.fill(rec,-1);//务必 rec初始化
        int ans = r(n);
        System.out.println(ans);
    }
    static int[] rec=new int[n+1];
    private static int r(int x) {
        if (x == 0) {
            return 0;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= x; i++) {
            if(rec[x-i]==-1){//计算之前做查询
                rec[x-i]=r(x-i);
            }
            int v=p[i-1]+rec[x-i];
            ans=max(v,ans);
        }
        rec[x]=ans;//计算之后做记录
        return ans;
    }
}

DP

从小范围推导大范围 打表 解决重叠子问题
动态规划:子问题推导父问题
不同于贪心（只要上一步答案即可）

package BlueCup.Eight_DP_greed;

import java.util.Arrays;

import static java.lang.Math.max;

public class 钢条切割问题 {
    static int n = 10;
    static int[] p = {1, 5, 8, 16, 10, 17, 17, 20, 24, 30};

    public static void main(String[] args) {
        Arrays.fill(dp, -1);
        ans = dp(n);
        System.out.println(ans);

    }
    static int[] dp = new int[n + 1];
    private static int dp(int n) {
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {//拥有钢条的长度
            for (int j = 1; j <= i; j++) {//保留为 j的段数
                dp[i] = max(p[j - 1] + dp[i - j], dp[i]);//查整段+ 查 最佳切割方案 求出最大
            }
        }
        return dp[n];
    }
}